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受折纸游戏启发,柏拉图立体的数学难题,被这三位数学家解决了

小朵朵

很爱比特币

1个月前
关于正 12 面体直线路径的基本问题,最近被三位数学家解决了。

机器之心报道,编辑:蛋酱、杜伟、泽南。

我们知道,正多面体的基本特性是每个面都是全等的正多边形、每条边等长且每角等角。这样的形状包括正四面体、立方体、正八面体、正十二面体和正二十面体。早在古希腊的柏拉图时期,人们就知道这五种规则多面体。

在《蒂迈欧篇》一书中,柏拉图认为地上的四种元素风、火、水和土以及天上的 quintessence 分别对应这五种形状,因此这五种规则多面体又称为柏拉图多面体。具体来说,正四面体对应火,正六面体对应土,正八面体对应气,正二十面体对应水,而正十二面体对应 quintessence 或者宇宙。

关于多面体性质的理论关系到人们对于晶体的理解,因此它是晶体学、固体物理、材料科学,乃至于生物病毒研究的基础。

尽管两千多年以来,数学家们不断研究柏拉图立体的结构,并证明了只存在这五种凸多面体,但人类对它们的了解显然还不够。

先让我们来思考一个问题:

假设你从柏拉图立体的一个角出发,是否有某种直线路径,让你无需经过任何其他角,即可回到原点?

对于由等边三角形或正方形组成的四种柏拉图立体(四面体、立方体、八面体、二十面体)来说,数学家们已经有了结论:这不可能做到。在这几种正多面体上,从每个角任何出发的任何直线路径都会最终碰到另一个角,或者是永远绕来绕去,无法返回原点。

但在由五边形组成的正十二面体上,这条直线路径存在与否?一直以来,数学界都没有完整的结论。

现在,三位数学家解决了这个关于正十二面体的基本问题之一。

2020 年 5 月,《Experimental Mathematics》杂志刊发了由 Jayadev Athreya、David Aulicino 和 Patrick Hooper 三人合著的一篇论文。在这项研究中,三位数学家共同论证了十二面体上存在着无数条这样的直线路径,这些路径可划分为 31 个自然族。

这一解法依靠的是现代技术和计算机算法。「二十年前,(这个问题)绝对是遥不可及的;十年前,编写所以有必需软件需要付出巨大的努力。只有当下,终于万事俱备。」巴黎 Jussieu 数学研究所的 Anton Zorich 在一封邮件中写道。

该项目始于 2016 年,当时华盛顿大学的 Athreya 和布鲁克林学院的 Aulicino 将一些折纸卡片折叠成柏拉图立体。当他们搭建不同立体的时候, Aulicino 突然想到,最近关于平面几何的研究可能正是探索十二面体上的直线路径所需要的。

二人与纽约市立大学的 Hooper 一起,研究出了如何从十二面体的某个角出发,完全避开其他角且最终能回到原点的直线路径。

隐藏对称性

关于正十二面体上直线路径的推测已经持续了一个多世纪,近年来随着对「平移曲面」理解的不断加深,这一数学主题的研究热度又重新高涨起来。

平移曲面由多边形平行边连而形成,并且被证明对于研究各种包含带角形状上直线路径的主题中很有意义,例如台球桌轨迹问题,以及一盏灯如何照亮整个有镜子的房间。

解决这类问题的基本思路是:以一种使自身学习路径更简单的方式对形状进行展开。

比如,为了理解柏拉图立体的直线路径问题,首先可以切开足够多的边以使立方体放平,形成数学家所称的网(net)。例如,骰子形立方体的网是 6 个正方形组成的 T 形。

想象一下,将正十二面体放平,并且正沿着这个平面形状向选定方向移动,最后将碰到网的边。此时,路径将跳转到一个不同的五边形(在切开正十二面体之前,它与当前五边形粘合在一起)。每当路径跳转时,它将以 36 度的倍数旋转。

为了避开所有的跳转和旋转,当碰到网的边时,可以不用在另一个新的、旋转的网上连接,而是直接进入该网。现在已经得到了两个不同的五边形,分别表示原正十二面体的五边形。所以即使现在的情况变得复杂了,但是路径却变得更加简单。此外在任何需要扩展边的时候,都可以继续添加新的网。

当路径已经历经 10 个这样的网的时候,原网已经以 36 度的每个可能倍数进行了旋转,并且添加的下个网与刚开始的网具有相同的方向。这意味着第 11 个网能够通过一个简单移位(即数学家所说的平移)连接到原网。

所以不用在第 11 个网上连接,可以直接将第 10 个网的边连接到原网的对应平行边上。这样一来,形状也不用平放在平面上,但数学家认为形状仍然「记住(remembering)」了之前的平面几何。所以,如果该路径在这些形状中是直的,也就意味着路径整体是直的。

在完成对应平行边的所有此类可能的连接之后,也就最终生成了所谓的平移曲面。

生成的曲面是正十二面体的高度冗余表示,每种五边形十个,而且情况会复杂得多:它们会组合成有 81 孔的甜甜圈形状。不过这种复杂的形状可以让三位数学家使用丰富的平移曲面理论。

为了解决这个巨大的问题,数学家们撸起袖子,在几个月的工作之后,他们意识到 81 孔的甜甜圈形状不仅构成了正十二面体的冗余表示,而且还代表了研究最多的平移曲面之一。这就是一种名为「双五边形」的形状,它由两个五边形共用同一条边组成——如果将平行边连接在一起,就可以构建出具有大量对称性的两孔甜甜圈结构。

这个形状正好是 Athreya 手臂上的纹身,「双五边形是目前已知的、我最喜欢的东西,」Athreya 说道,在他和 Aulicino 开始研究正十二面体之前的一年,他有了这个纹身。

由于双五边形和正十二面体有几何上的关系,前者的高度对称性可以用于阐明后者的结构。芝加哥大学数学家 Alex Eskin(同时也是 Athreya 十五年前的博导)表示,「这是令人惊讶的隐藏对称性。我认为十二面体拥有这样的隐藏对称性集合,是非常特别的。」

这些平面之间的关系让研究者们可以利用一种算法来分析德国卡尔斯鲁厄理工学院研究者 Myriam Finster 开发的高对称平移曲面。通过调整 Finster 的算法,研究者能够识别十二面体上从拐角到其自身的所有直线路径,并通过十二面体的隐藏对称性对这些路径进行分类。

「这是我整个职业生涯中做过的最有趣的工作,」Athreya 说道。「持续不断地探索非常重要。」

「新研究结果告诉我们即使是经过千年时间研究过的事物,仍然可能留有秘密,」Eskin 说道。「我觉得即使对那三名数学家来说,在十二面体上发现新的东西也是一件极为令人惊讶的事。」

参考链接:

quantamagazine.org/math

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